La lógica aristotélica

Tradicionalmente la lógica ha sido descrita como el estudio de las leyes del pensamiento. Objetivo tal vez un tanto pretencioso: ¿por qué una sola ciencia tendría este privilegio, asumiendo que haya tales cosas como «leyes del pensamiento»? Se tiende a reconocer que estas leyes de la lógica aristotélica ocupan la cima de la racionalidad: (I) el Principio de Identidad: lo que es, es, lo que no es, no es; una entidad es necesariamente idéntica a sí misma. (II) El Principio de No-contradicción: una misma entidad no puede tener dos atributos contradictorios al mismo tiempo y en el mismo sentido. (III) El Tercero (o tercio, o medio) Excluido, tertium non datur (de ahora en adelante TE): dadas dos proposiciones contradictorias, una es verdadera y la otra es falsa de tal manera que la verdad de una de ellas (o la falsedad) implica la verdad (o la falsedad) de la otra. Toda proposición debe ser verdadera o falsa. Aristóteles estaba consciente de que estos principios, por ser absolutamente primeros, no son demostrables. Para el estagirita la lógica estaba íntimamente vinculada a la descripción de la realidad y estos principios querían decir –subrayémoslo– que, si algo es A, es realmente A (identidad), que nada puede ser a la vez A y no-A (no-contradicción) y que toda entidad debe ser A o no-A (TE).

Todo eso es satisfactorio y ayuda a mantener las ideas claras. El realismo y el naturalismo universal reconocen que la lógica aristotélica es una contribución significativa al origen del pensamiento racional en un entorno donde no hay milagros ni actos mágicos. Estamos rodeados de objetos relativamente estables con propiedades relativamente estables que los definen. Un mundo donde algo existe y no existe, donde algo es a la vez sólido y no-sólido, donde una afirmación es a la vez verdadera y falsa, no es el nuestro. Estos tres principios clásicos han tendido a actuar en conjunto. Sin embargo, la recepción que han tenido en la historia de las ideas científicas, especialmente en las matemáticas y en la física, no es la misma. Desde numerosos lugares han aparecido desde los tiempos antiguos críticas al TE. ¿Qué se le reprocha? Las objeciones son reunibles en una de las tres clases que describo a continuación.

El intuicionismo

La primera clase está formada por una serie de objeciones lógico-matemáticas desde una perspectiva intuicionista, y dada su importancia, ocupará un espacio mayor que los otros géneros de objeciones. Resulta cómodo describir el intuicionismo confrontándolo al platonismo. Algunos científicos y pensadores han sostenido que todo enunciado matemático bien formado es eternamente verdadero o falso porque describe, correcta o incorrectamente, los seres, las propiedades y las relaciones entre los seres que habitan en el mundo ideal. Un teorema no llega a ser verdadero a medida que es probado. Por ejemplo, los hechos matemáticos organizados en la geometría euclidiana no esperaron la síntesis de Euclides para ser verdaderos. Lo seres matemáticos, como una familia de curvas, gozan de una existencia independiente de nuestro conocimiento. Esta creencia metafísica deja un vacío de comprensión en lo que se refiere al conocimiento de tales verdades o falsedades. ¿Con qué derecho se afirma que existen verdades desconocidas? Salta a la vista que el intuicionismo es una exigencia epistemológica semejante a la del verificacionismo de los empiristas y de los positivistas que no reconocen la existencia de una verdad o de una entidad a menos que se pueda probarla o «construirla».

«Construir» quiere decir dar las reglas para producir efectivamente el ser postulado o la verdad, dar un ejemplo cuando se enuncia una generalidad, nombrar un elemento de un conjunto o de una clase (recordemos que los primeros trabajos de Cantor sobre el infinito no tuvieron en cuenta estas exigencias). De acuerdo al intuicionismo hay que reconocer que existen proposiciones matemáticas no probadas, o no probadas aún; seres matemáticos postulados para los cuales no tenemos, o no tenemos todavía, un mecanismo de construcción. Por eso a los dos valores de verdad, verdadero y falso, hay que agregar un tercero: lo no probado, lo no decidido, lo no construido.

L.E.J. Brouwer es uno de los principales matemáticos y filósofos que impuso esta condición, a saber, que toda proposición debe estar probada verdadera o falsa. Si tiene una dimensión semántica debe estar probada de acuerdo a las reglas de la semántica, y si no tiene interpretación semántica entonces la proposición necesita una prueba sintáctica. Que una proposición sea verdadera significa que se tiene una prueba a favor de la proposición; si es falsa significa que implica una contradicción o bien que es imposible o reducible al absurdo. Nótese el valor cognitivo eminente y explícito de la demostración efectiva. La lógica clásica comparada con la intuicionista se revela entonces tal vez demasiado optimista al suponer que todos los problemas expresables con el lenguaje natural o con los formalismos matemáticos tienen una solución, suposición no probada.

Si lo verdadero es lo verdadero conocido, si la verdad llega hacer la verificación, se obliga a la lógica a bajarse de su pedestal y a tener en cuenta que entre lo verdadero y lo falso existe, a veces, un dominio donde hay lugar para nuestra ignorancia acerca de la verdad, para lo más o menos probable, para lo más o menos verosímil, para la aproximación a la verdad. Si se trata de definir la negación, la lógica clásica –donde hay sólo dos valores, verdadero y falso– recurre a la vez al principio de no-contradicción y al TE. Así la falsedad de una falsedad es verdadera. Sin embargo, una vez más, habría que reconocer que entre lo manifiestamente verdadero y lo manifiestamente absurdo hay un espacio de posibilidad habitado por lo que no tiene prueba definitiva ni a favor ni en contra.

La idea de que entre lo probado en tanto que verdadero o en tanto que falso existe un espacio de indecisión fue corroborada, a su manera, por la mecánica cuántica. Hacia fines de los años 1920, Heisenberg y Dirac mostraron que las nuevas leyes que componen la mecánica cuántica muestran que en nuestra capacidad de observación existe un límite fundamental que no había sido reconocido hasta ese momento. Como este límite está probado, además de ser un principio es un teorema. Recordemos que el principio de indeterminación enuncia que todo progreso en la precisión de la medida de la posición de una partícula implica una menor precisión en la medida de su velocidad e inversamente. Este límite en la medida de los objetos microscópicos llega a ser insignificante en el dominio de los objetos macroscópicos. Es posible pensar que, en sí, cada partícula posee realmente una posición y una velocidad precisas, posibilidad metafísica sin embargo no considerada por los especialistas de la mecánica cuántica. Para ellos además el concepto de tamaño o de magnitud precisa no tiene sentido físico. Pienso por mi parte que a medida que nos alejamos de los hechos y fenómenos existentes a nuestra escala yendo hacia lo infinitamente pequeño o hacia lo infinitamente grande, el conocimiento se transforma rápidamente en creencia simbólica: se tiene fe en lo sugerido por los formalismos matemáticos.

El principio de indeterminación hizo que a mediados de los años 1930 Birkhoff y Von Newman propusieran una lógica más débil que la lógica veritativo-funcional la cual no conserva ni la negación clásica ni la ley del TE. La idea es que no se atenta contra ninguna ley natural del pensamiento si se trata de adaptar la lógica a las necesidades del conocimiento.

Leibniz hizo observar que muchos sistemas naturales son homógonos, objetos en los cuales una fase por medio de un cambio continuo puede desvanecerse o desaparecer en otra fase que torpemente designamos mediante una noción opuesta. En estos casos no hay que dejarse desorientar por el lenguaje natural, discreto, hecho de dicotomías, y tendríamos interés más bien en utilizar los recursos del análisis matemático. Según la ley de la continuidad de Leibniz, nada ocurre repentinamente, la naturaleza no avanza a saltos y en nuestro mundo contingente no puede haber contradicción entre un continuo y su límite. El reposo no es lo opuesto del movimiento, sino su extremo, su límite. No hay oposición entre el tiempo y el instante, ni entre el espacio y el punto, ni entre la curva y la recta, ni entre lo elástico y lo duro, ni entre la vida y la muerte. El segundo término de estos pares es el límite del proceso descrito por el primero. Si hay continuidad de un estado físico hasta su término no se ve cómo podríamos introducir una separación en el proceso que haría que una proposición descriptiva sea, a partir de cierto punto, exclusivamente verdadera o exclusivamente falsa.

Nadie puede responder hoy satisfactoria y unánimemente a la pregunta: ¿es el fondo de la naturaleza continuo o discreto? Es verdad que lo continuo es indecible, nuestro lenguaje funciona con símbolos discretos. Pero algunos tenemos la intuición, no compartida por todos, de que lo discreto sale de un fondo continuo. Nos resulta imposible aceptar la idea de que en la naturaleza existan vacíos, no vacíos de una cosa o de otra sino vacíos absolutos (Lucrecio: «Nada sale de la nada ni va hacia la nada»). La historia muestra que esta pregunta: ¿es finalmente la naturaleza continua o discontinua?, se profundiza al parecer sin que se pueda decidir a favor de una u otra de las ramas de la alternativa. Se trata de uno de los problemas más significativos de la filosofía y de la ciencia.

Los futuros contingentes

La segunda clase de objeciones al TE concierne a los futuros contingentes. ¿Cómo pretender que una proposición descriptora de lo que sucederá sea eternamente verdadera o falsa en el momento en que se enuncia si nadie sabe lo que sucederá? El futuro estaría hecho, por lo menos en parte, de acontecimientos contingentes, algunos de los cuales dependerían de nuestra voluntad. Si se supone que la voluntad es libre, que no está causalmente determinada, que nuestras decisiones pueden ser de una u otra manera según nuestra disposición, habría entonces lugar para proposiciones verdaderas, falsas o indecisas. Y si (es mi posición personal) se supone lo contrario, que no existe la libertad de la voluntad razón por la cual de todas maneras las proposiciones sobre las acciones voluntarias son solo verdaderas o falsas, quienes rechazan el TE dirán que el determinismo es una suposición metafísica: no cumple con el requisito de la prueba verificada a base de ejemplos concretos. Pero por su parte los partidarios del TE harán notar, a su vez, que es solo porque se ignoran las causas que determinan una acción que se cree en la libertad.

Algo importante que está también en tela de juicio es la función asignada al paso del tiempo y una respuesta posible consiste en decir que el tiempo no pasa. Según las ideas de Minkowski y de Einstein es posible ver el tiempo como una cuarta dimensión y no como un parámetro aislado y absoluto de evolución. El interés de esta proposición es que un espacio-tiempo de cuatro dimensiones da cuenta de todo lo que existe y de todo lo que existirá realmente.

Enfrentamos ahora otro problema difícil porque cuando se dice que el tiempo no pasa, se considera que se atenta contra el sentido común, contra la idea de una serie de instantes que se suceden, contra el tiempo biológico o vivido. Piénsese por ejemplo en la fuerza de la intuición bergsoniana de la durée (duración). Los que conocen las ideas de Einstein y la interpretación de Gödel saben que el asunto no es simple. Por ejemplo, de acuerdo a una interpretación de Gödel de las ecuaciones de la teoría de la relatividad general, el tiempo sería reversible, interpretación rechazada por Einstein por considerarla incompatible con su intuición de la realidad física. Una vez más encontramos una oposición entre el sentido común y lo sugerido por la reflexión matemática o científica.

El uso no cognitivo o figurado del lenguaje

La tercera clase de objeciones al TE es relativa al uso no cognitivo o figurado del lenguaje natural. Existen obras literarias que describen acontecimientos que no existen. ¿Cómo calificar de verdaderas o falsas las afirmaciones de Don Quijote, la descripción de Macondo? ¿Cómo aplicar el TE a las metáforas, a las analogías, a las alegorías o a los modelos que en vez de afirmar un estado de cosas reales interpretan hechos o hacen sugerencias? Además, los términos del lenguaje natural son a menudo ambiguos (tienen varias significaciones) o vagos (los límites de sus contenidos no son nítidos). Ya los antiguos se divertían con situaciones como éstas: dado un montón de trigo, saque un grano, ¿queda todavía un montón de trigo? ¿Sí? Saque otro, luego otro, y así sucesivamente hasta sacarlos todos. ¿A partir de qué cantidad de granos resulta absurdo decir que se tiene un montón de trigo?

Un razonamiento sensato ha sido propuesto por algunos lógicos y pragmáticos como Quine. Distingamos el lenguaje natural de los formalismos científicos, o el uso ordinario o artístico o ficticio del lenguaje, por un lado, del uso científico por otro. Concedamos que en el primer caso a veces nada grave ocurre si se deja un lugar entre lo verdadero y lo falso para una tercera posibilidad o para una ausencia de decisión. A menudo la información poco precisa o los términos ambiguos o vagos son suficientes para comunicar lo que se desea. Pero en ciencia, donde los formalismos simbólicos tienen un referente preciso, o a los cuales se les busca un referente preciso, se necesita precisión e intentar saber en consecuencia si lo que se afirma es verdadero o falso. Por eso cuando naturalmente no hay razón suficiente para determinar donde comienza y donde termina la extensión de un término, o cuando el carácter verdadero o falso de una proposición queda subdeterminado por la información real, conviene trazar límites de manera artificial. Tal actitud favorece la deducción y, en consecuencia, el progreso de la ciencia.

Hacia la conciliación

No me parece necesario oponer los métodos que utilizan el TE a los procedimientos más exigentes de los matemáticos constructivistas, así como tampoco pienso que haya necesidad de oponer los enunciados de la ciencia a aquellos de la vida diaria o de la ficción. Reconózcase sin embargo que una prueba constructiva y que da ejemplos de lo afirmado es epistemológicamente más valiosa que una que no lo sea. La primera da el derecho de afirmar que se está en posesión de una verdad o de una falsedad. Por otra parte, y si las circunstancias no presentan un obstáculo definitivo, no es irracional recurrir al TE cuando los procedimientos constructivos no están al alcance. Lo vimos: la deducción se facilita si las premisas se determinan como verdaderas o falsas, lo que significa un beneficio del TE para el progreso del conocimiento. Recordemos lo dicho al comienzo: Aristóteles estaba consciente de que los principios de su lógica clásica, por ser absolutamente primeros, no son demostrables. Finalmente, queda a cargo de cada persona según su intuición, conocimiento e interés, juzgar si vale la pena fijar el valor de verdad de una proposición no constructiva o no verificable. El TE ha pasado sustos, pero sigue vivo y aportando valiosas contribuciones al conocimiento.

Bibliografía

Aristóteles, Metafísica.
Luitzen Egbertus Jan Brouwer, On the significance of the principle of excluded middle in mathematics, especially in function theory (1923).
Intuitionistic reflections on formalism (1927).
Arend Heyting, Introducción al intuicionismo (1976).
Andrei Nikolaevich Kolmogorov, On the principle of excluded middle (1925).
Jean Largeault, Intuition et intuitionnisme (1993).
W.V.O. Quine, From a logical point of view (1953).
Bertrand Russel, An Inquiry Into Meaning and Truth (1940).