É conhecido que o célebre pintor espanhol Pablo Picasso (1881-1973) era apaixonado por pombos. Sobre o tema da intuição, diz-se que sugeriu a um amigo que se tratava de algo semelhante a ter um pombo-correio: «O importante é saber que o pombo chegou, não sendo necessário desenrolar a mensagem.».

Esta elegante imagem poética ilustra muitíssimo bem o ponto central respeitante à intuição humana. Trata-se da capacidade humana útil para tentar conhecer ou fazer alguma coisa, ou para tomar uma decisão, sem ter uma compreensão estruturada e detalhada sobre a coisa em causa. Por vezes, nem se consegue explicar, quanto mais ter um entendimento passível de estar escrito numa mensagem como a do pombo-correio. Ainda assim, é possível construir convicções, tem-se um feeling de que o pombo está ali com a mensagem certeira. Mais do que grandes estudos psicológicos ou neurocientíficos, muitas vezes a melhor maneira de descrever um conceito é através de metáforas ou poesia.

Em latim, o termo intuitione aparece a partir da junção «in-» (dentro) e «tuere» (olhar para). Aponta correctamente para o facto de ser muitas vezes algo involuntário, interior e inconsciente. Por isso, em relação ao assunto, há muitas lendas, mitos, sonhos, histórias ligadas ao divino, relatos paranormais, etc.

Sob a forma de comentário a um filme estreado recentemente, mais do que qualquer outra coisa, o propósito deste texto consiste em fazer algumas considerações sobre esta capacidade, uma das mais importantes que o ser humano tem.

Na altura em que se escreve este texto, está ainda em cena o filme The man who knew infinity (traduzido em português para O homem que viu o infinito), realizado pelo norte-americano Matthew Brown e protagonizado por actores como Dev Patel ou Jeremy Irons. O filme incide sobre o encontro entre o prodigioso matemático indiano Srinivasa Ramanujan (1887-1920) e o consagrado matemático inglês (igualmente brilhante) Godfrey Harold Hardy (1877-1947). Esse encontro deixou a sua marca na história da matemática.

Ramanujan nasceu numa pequena localidade a 400 km de Madras na India. Com 15 anos, leu o Synopsis of Elementary Results on Pure Mathematics, do professor de Cambridge George Carr (1837-1914). A obra apresentava milhares de teoremas e muito poucas demonstrações. Ramanujan, mais do que ler passivamente o seu conteúdo, deverá ter adoptado uma postura activa, absolutamente fundamental para quem quer investigar o que quer que seja, deverá ter tentado compreender de uma forma mais acabada e fundamentada os conceitos expostos. Esse processo de entendimento matemático foi, talvez, um dos primeiros pilares a sustentar a fascinante intuição matemática que veio a adquirir.

Depois de tempos de privações, de um casamento simultaneamente arranjado e amorosamente bem sucedido, de problemas de saúde, de muito esforço solitário, Ramanujan enviou o seu trabalho matemático a Hardy, que ficou muito impressionado, convidando-o a ir a Cambridge em 1913. A partir daí começa uma mítica interacção entre esta dupla, tema fundamental do filme de Matthew Brown (Dev Patel desempenha o papel de Ramanujan e Jeremy Irons o de Hardy). O leitor interessado sobre o conteúdo da carta de Ramanujan, ou, mais geralmente, sobre conteúdo matemático detalhado envolvido nesta história, pode consultar um interessante e exaustivo artigo do proeminente matemático Stephen Wolfram.

Sobre o momento em que Ramanujan manda o seu trabalho a Hardy, não muito realçado no filme, devem ser frisadas duas coisas. Primeiro, a enormíssima sorte que Ramanujan teve em ver o seu trabalho ser analisado por Hardy. Nestes casos, poucas pessoas no mundo podem compreender a magnitude do material em causa. Hardy era profundo conhecedor, um matemático de primeiríssima água, e conseguiu apreciar adequadamente o tesouro que tinha em mãos. Mas, em segundo lugar, a maior fatia dessa sorte é ainda outra coisa: Hardy esteve disposto a colocar a sua reputação ao serviço da defesa e desenvolvimento desse tesouro. Esteve disposto a atravessar-se por esse conteúdo. Essa atitude é uma completa raridade, não sendo uma atitude acomodada mas, ao contrário, uma atitude de risco. Tanto mais, por Ramanujan ser um total desconhecido, sem qualquer obra feita na altura. No meio académico, esta conjugação, conhecimento profundo e vontade de arriscar, baseados na mais nobre honestidade intelectual, sempre foi e sempre será uma raridade. Por cada Ramanujan, haverá muitos milhares de prodigiosos desconhecidos que não conseguiram acertar no seu Hardy. Um dos méritos deste filme consiste em colocar Hardy a par com Ramanujan, na categoria de heróis do filme. Trata-se realmente de uma história sobre dois enormes vultos, em pé de igualdade.

Ramanujan foi um matemático muitíssimo intuitivo. Muitas pessoas têm fascínio pela intuição por um motivo desastroso, a preguiça. Associam o carácter rápido e inconsciente da intuição à ideia de conseguir resultados sem trabalho. Criam-se mitos de figuras geniais, capazes de ter sucesso enquanto bebem umas caipirinhas à sombra da bananeira. É o aluno que «apanha no ar», é o cientista distraído que só diz coisas brilhantes, é o artista que produz uma harmoniosa obra de arte sempre que mexe um dedo. Isto não só mostra alguma inveja (no íntimo, invejam o sucesso sem esforço), como se trata de uma ideia totalmente errada. A intuição dá muito trabalho. Depois de muito pensamento, trabalho e de uma relação quase epidérmica com um objecto de análise, é possível uma pessoa tornar-se intuitiva. As soluções começam a surgir, baseadas em reminiscências. O trabalho e vivências conscientes transformam-se em poderosas ferramentas inconscientes. O futebolista Lionel Messi costuma ser uns segundos mais rápido do que os outros futebolistas por conseguir decidir o que fazer com a bola sem ter de pensar; em quantos milhares e milhares de lances terá participado até adquirir este estado zen?

Garry Kasparov, ex campeão mundial de xadrez, na sua obra How Life Imitates Chess (2007), sobre a intuição de muitos talentosos jogadores escreve o seguinte:

Quando um jogador de xadrez experimentado vê surgir na sua mente a melhor jogada, sem ter de procurar por entre centenas de variantes, isso é o poder da intuição. (…) É o resultado indispensável da nossa experiência e do nosso conhecimento. Na minha opinião, ao contrário da crença popular, não é possível ter intuição em áreas em que temos poucos conhecimentos práticos. (…) Até mesmo os mais vagos palpites são baseados em algo tangível – algum conhecimento, ainda que possa estar bastante enterrado no nosso inconsciente. (…) O facto de não sermos capazes de explicar nem de compreender, não significa que esta poderosa força de armazenamento de memórias não exista.

Ramanujan não foge à regra no que diz respeito a essa ideia. Foi alguém que trabalhou muitíssimo durante o seu curto tempo de vida. Além disso, contrariando a ideia de que a intuição não se relaciona com o trabalho de cálculo, era absolutamente notável no que diz respeito a abordagens de cálculo por aproximação, abordagens exactas e suas relações. A esse respeito, Stephen Wolfram observa

(..) Ramanujan was surely a great human calculator, and impressive at knowing whether a particular mathematical fact or relation was actually true. (..) Another striking feature is the frequent use of numerical approximations in arguments leading to exact results. People tend to think of working with algebraic formulas as an exact process — generating, for example, coefficients that are exactly 16, not just roughly 15.99999. But for Ramanujan, approximations were routinely part of the story, even when the final results were exact.

Todo o seu precoce trabalho solitário gerou a tal relação epidérmica com objectos matemáticos. Hardy diria mais tarde, cena cinematográfica utilizada por Matthew Brown, «Every positive integer was one of his personal friends.».

Por motivos mais certeiros, diferentes da crença tonta de que o intuitivo não precisa de trabalhar, não há dúvida de que a intuição é um assunto fascinante e romântico. Não por associação a «coisas paranormais», mas pela constatação dessa maravilhosa capacidade que uma pessoa tem de ir tornando alguns pensamentos cada vez mais intuitivos, relaxando cada vez mais a necessidade consciente. É apaixonante ver como os seres humanos são tão bem apetrechados. Antes de aprender as cores, uma criança pode responder a uma pergunta como «De que cor é este morango?» com «É azul.». Estes pormenores são fantásticos. Ela responde erroneamente «É azul.» em vez de «É vermelho.», mas responde com uma cor e não uma coisa tonta qualquer como «É quente.»! Isto revela um enorme edifício de categorização inconsciente que ajuda as pessoas nas suas vidas. Esta criança não é capaz de explicar nada, embora haja já uma lógica no seu interior, baseada na sua experiência. Tem uma ideia de que «Azul», «Vermelho», etc., se relacionam com a pergunta «De que cor é isto?». O funcionamento humano é muito sofisticado e a complexidade pode atingir níveis tão incríveis que é capaz de gerar monstros sagrados como Mozart, Kasparov, Messi ou Ramanujan.

Hardy mencionou uma vez «The collaboration with him was the one romantic incident in my life.», comentário que também aparece no filme. Não é difícil perceber este comentário. Basta pensar num grande especialista num assunto que contacta com alguém que consegue acompanhar os seus pensamentos, fazendo sugestões intuitivas para soluções e novos caminhos. Cada documento pode ser uma excitação. Cada descoberta, um acontecimento.

Sem querer entrar em grandes especificidades técnicas, o filme aborda dois temas matemáticos fundamentais, trabalhados em pareceria por Ramanujan e por Hardy. Um dos temas relaciona-se com os números primos.

Os primeiros números utilizados pelo Homem, e também os primeiros a serem compreendidos por todas as pessoas desde tenra idade, são os chamados números naturais. São na realidade bastante naturais, sendo comumente utilizados para contar e para ordenar; são os inteiros positivos 1,2,3,4,… A primeiríssima aritmética fundamental que qualquer pessoa aprende incide precisamente sobre estes números.

Um subconjunto dos números naturais são os números primos: 2,3,5,7,11,13,…, números com exactamente dois divisores. Estes números são uma espécie de «matéria prima» de que todos os outros são feitos. Por exemplo, 4=2x2, 6=2x3, 12=2x2x3, 15=3x5, etc. Cada número natural superior a um tem uma única «impressão digital» exibida sob a forma de uma única multiplicação de números primos. Um bom domínio da temática permite alcançar uma melhor compreensão sobre múltiplos e divisores, manipulação de fracções, etc. Os primos são a «alma» dos números naturais. Por essa razão, desde cedo, são aprendidos na escola.

É claro que há muito que os matemáticos se interessam por conhecimento relacionado com os números primos. Por exemplo, o grande matemático grego Euclides (~300 A.C.) apresentou uma demonstração para o facto de o conjunto dos primos ser infinito. A elegante demonstração aparece na sua obra Os Elementos, uma das mais lidas de sempre (Livro IX, Proposição 20).

Outra temática diz respeito à distribuição dos primos no conjunto dos números naturais. Quantos números primos menores do que 3456 existem? E menores do que 7234123? Mais geralmente, será que se pode estimar a «taxa de aparição» dos números primos? O chamado Teorema dos Números Primos dá uma resposta a esta questão, afirmando que o número de primos menores ou iguais a n é aproximadamente n / ln n. Esse resultado foi demonstrado em 1896, independentemente por Jacques Hadamard (1865-1963) e Charles Jean de la Vallée Poussin (1866-1962). Ramanujan propôs uma ambiciosa versão mais precisa do teorema que, infelizmente, se revelou errada.

O outro tema matemático abordado no filme é o tema das partições. O problema é o seguinte: dado um natural n, de quantas formas diferentes pode ser escrito como soma de naturais? Por exemplo, 4=4, 4=1+3, 4=2+2, 4=1+1+2, 4=1+1+1+1; no caso n=4, a resposta é 5 (escreve-se P(4)=5). A pergunta que se impõe é «como se comporta P(n) em geral?». Juntamente com Hardy, Ramunajan foi capaz de apresentar uma elegante fórmula capaz de aproximar eficazmente P(n).

Voltando ao objecto fundamental deste artigo, apesar do romantismo associado, a intuição também tem os seus problemas. Por não ser baseada em compreensão cuidada e estruturada, por vezes, fornece respostas erradas. Este ponto toca num aspecto essencial relativo à natureza da matemática. É exactamente por prevenir erros de intuição e erros empíricos que a matemática é muito bem sucedida na nossa história partilhada. De certa forma, a matemática existe para combater esses efeitos perniciosos e conquistar a «malha» estrutural e profunda do conhecimento científico. A matemática é argumentativa, procurando explicações na forma de demonstrações não subjectivas. A investigação matemática só se considera acabada quando fornece demonstrações férreas para as suas conquistas. Há uma componente demonstrativa que completa e anda a par da componente intuitiva. Sem ela, não estamos a falar de matemática em toda a sua plenitude.

O tema central do filme é este equilíbrio entre as abordagens intuitivas e as abordagens formais/demonstrativas. Mas é preciso ter atenção: comete se o erro típico de muitas interpretações se se adoptar uma visão extremada Ramanujan=intuição, Hardy=rigor+abordagem formal e demonstrativa. Isso é um absurdo total! Tanto Ramanujan era capaz de brilhantes demonstrações, como Hardy de brilhantes rasgos intuitivos. Este tipo de análise não se pode fazer como se de um filme a preto e branco se tratasse. Não há grandes matemáticos, fantásticos jogadores de xadrez ou brilhantes cientistas, da estatura destes dois vultos, que não sejam bastante completos quanto às suas abordagens de ataque aos problemas. Ramanujan era muito completo, caso contrário não poderia ter sido o matemático que foi. É um mérito do realizador Matthew Brown não ter transmitido essa visão afunilada.

No entanto, não se pode fugir ao facto de que a intuição de Ramanujan foi a sua imagem de marca. Foi alguém que trabalhou isolado durante muito tempo, criando um estilo intuitivo não standard muito peculiar. Por ter sido um raríssimo caso de sucesso nestas condições, foi quem foi, alvo de um filme de Hollywood e presente no imaginário dos matemáticos.

De forma inteligente, o filme procura ilustrar esse equilíbrio que deve existir entre a abordagem intuitiva e o edifício demonstrativo. Procura transmitir a importância da complementaridade. Não se pode investigar matemática sem as duas vertentes: quando se parte para questões em aberto, com contornos desconhecidos, tem de haver recurso à intuição; ao mesmo tempo, tanto durante a investigação, como na fase dos acabamentos tem de se formalizar e demonstrar. É como uma «onda do mar» que tapa e destapa a areia; tem de se saber quando avançar intuitivamente e quando parar para argumentar ferreamente. Tem de se arriscar um palpite e tem de se saber largar os palpites. As mudanças de abordagem são elas próprias objecto da intuição! Os jogadores de xadrez experimentados têm um «sentimento» quanto a saber qual é a altura de calcular ou de avançar através de princípios gerais. Os matemáticos intuem sobre as alturas para exemplificar, para formalizar, para conjecturar ou testar caminhos. O problema da escolha da melhor abordagem é ele próprio um problema que precisa de abordagem. Esta «onda do mar» é fascinante por se tratar, em última análise, do sofisticado pensamento humano cheio de pitadas de emocionalidade e racionalidade, passeando entre objectos concretos e construções abstractas.

Mesmo sendo persistentes e motivados, condições absolutamente necessárias para se estudar o que quer que seja, há matemáticos que não conseguem fazer boa investigação por serem «descalibrados». Alguns, por terem horror a palpites não justificados, não conseguem recorrer-se da intuição quando esta é necessária. Normalmente, são muito bons tecnicamente, conseguindo compreender e apreciar a estrutura do edifício matemático. Mas navegam mal na escuridão e no desconhecido. Em relação a este tema, na obra atrás mencionada, Kasparov faz a seguinte observação:

O maior problema que vejo entre pessoas que se querem tornar excelentes jogadores de xadrez – à semelhança com o que acontece no mundo dos negócios e na vida em geral – é não confiarem suficientemente na intuição. Muitas vezes preferem antes reunir toda a informação, o que os obriga a chegar a uma conclusão. Isto acaba por reduzi-las ao papel de meros microprocessadores e faz com que a sua intuição continue adormecida.

Outros matemáticos são tão intuitivos, e conscientes de que a sua intuição funciona bem, que descuram a argumentação ou, pior ainda, cometem erros. As pessoas intuitivas criam uma relação emocional/mística com o seu objecto de estudo. No caso da colaboração Hardy/Ramanujam, ficou célebre a ideia descrita por Ramanujan de que a sua deusa Namagiri falava com ele, estando na origem dos seus resultados matemáticos (ideia retratada no filme). Devido a esta relação visceral, uma das tarefas mais difíceis para alguém intuitivo consiste em saber desistir da sua própria intuição. Por vezes, o acertado consiste em refutar um palpite e isso pode ser um terror para quem confie em absoluto na intuição. Há brilhantes matemáticos que consideram os seus resultados certos porque a sua intuição assim o diz: «tem de ser», «é bonito», «não poderia ser de outra forma», «cheira bem», etc., são justificações muito comuns, de índole emocional e sensorial. Para um matemático intuitivo, por vezes, a demonstração é apenas a consequência do facto evidente ditado pela sua certeira intuição. Trata-se de um puzzle confirmador e não de algo a fazer, susceptível de estar errado. Relativamente ao erro acima mencionado, quanto à versão do Teorema dos Números Primos, o matemático indiano reage mal, mostrando desconfiança e estupefacção: o erro «não podia» ter acontecido. Mesmo confrontado com uma evidência clara de um erro, a primeira reacção de um matemático muito intuitivo pode ser essa mesma: estupefacção e grande desconfiança. O realizador fez bem em tentar passar essa ideia.

Há muitos filmes, tanto sobre criação artística, como sobre investigação científica. Alguns abordam duplas igualmente célebres. Um exemplo oscarizado é Amadeus (1984) do realizador checo Milos Forman. Nele, o compositor italiano Antonio Salieri (1750-1825) é figura central, sendo alguém apaixonante por exemplificar uma pessoa capaz de acompanhar e compreender o que pode haver de mais sublime numa criação artística, sem ser capaz de a fazer. Devido a essa inaptidão para a concepção de algo tão adorado, acontece um expectável desvio para o martírio interior. O filme de Matthew Brown não aborda nada disso. A dupla Hardy/Ramanujan é interessantíssima por ser exactamente o oposto, por ser construtiva. Por ter havido grande respeito mútuo, competência matemática estratosférica, noção quanto aos problemas envolvidos e noção da contribuição de cada um, esta colaboração tornou-se assinalável e uma enormíssima raridade. Mais do que outros aspectos cinematográficos como as relações familiares, o número de táxi 1729 (que Ramanujan disse ser belo, por ser o menor natural a poder ser expresso de duas formas diferentes como soma de dois cubos), a morte prematura de Ramanujan (tuberculose, aos 32 anos), a temática do racismo, o círculo próximo de pessoas igualmente geniais como Bertrand Russel (1872-1970) ou John Littlewood (1885 1977), o filme vale por ter respeitado a enorme importância da complementaridade de abordagens na busca do conhecimento.