Desde Galileo, período en que las entidades de la física empezaron a estar matemáticamente constituidas — lo matemático ya no es externo a lo físico sino que lo define desde adentro —, los científicos y los filósofos no han dejado de sorprenderse ante lo útil de las matemáticas para la previsión y el control de los fenómenos. Los modelos geométrico-mecánicos y numéricos son indispensables tanto a las ciencias naturales para describir y prever los procesos, como a las ciencias y artes del ingeniero para la construcción de aparatos. Se piensa comúnmente que este valor cognitivo y práctico es un enigma. Eso significa que no es deducible de ninguna teoría.

Eugene P. Wigner, en su conocido artículo de 1960, The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences, da varios ejemplos de la eficacia de las matemáticas. Nótese que ciertas teorías físicas fundamentales se aplican con gran precisión a pesar de que la materia está en movimiento. En 1997, en The Large, the Small and the Human Mind, Roger Penrose menciona que dada una longitud de 1 metro, la geometría euclidiana tiene un margen de error inferior a la espesor de un átomo de hidrógeno. La precisión de los resultados de la mecánica newtoniana es aproximadamente de 1/107, aquella de los resultados de la teoría general de la relatividad alcanza 1/1014 y en mecánica cuántica, en el sistema de las unidades de Dirac, el valor del momento magnético del electrón es también predictible con alta precisión. Mientras que la materia de la física se presta para el conocimiento y para el control del algebrista y del geómetra, la materia viva y psíquica se escurre entre los dedos del matemático.

¿Cómo entender el valor cognitivo y práctico de las matemáticas? En nuestra era pragmática y positivista a la mayoría de los científicos, al llegar a los fundamentos de su actividad, les falta audacia reflexiva. Desprovistos de una metafísica idónea van de misterio insondable en misterio insondable. Es lamentable porque nadie está mejor capacitado que el especialista para saber por qué las entidades matemáticas son explicativas y eficaces. ¿Cómo entender que las leyes fundamentales de la física tienen que formularse matemáticamente? Richard Feynman responde: «es un misterio». Las relaciones entre lo matemático, lo físico y lo mental son esta vez, de acuerdo a Roger Penrose, «tres misterios». Y cuando recientemente el matemático Richard W. Hamming se hizo la pregunta que nos ocupa, cómo explicarse el alto valor las matemáticas para el conocimiento y control de los procesos y entidades del mundo sensible, respondió: «es un misterio». Sucede que el científico no tiene ni los procedimientos reflexivos, ni los conceptos apropiados ni la distancia necesaria con respecto a los fundamentos de su ciencia para meditar sobre ellos correctamente. La toma de distancia con respecto al objeto del pensamiento es condición sine qua non de la filosofía.

El filósofo de la naturaleza se esfuerza por seguir pensando racionalmente incluso cuando el científico llega al final de su camino y tiende a adoptar una actitud poética o mística. Quisiera entonces, primo, sacar a la luz del día el presupuesto metafísico del asombro ante la adecuación de los formalismos, secundo, rechazarlo. Si se traza una demarcación estricta entre el fenómeno natural y el proceso mental, o bien entre el fenómeno natural y el simbolismo intelectual, y si se ubican luego los procesos y entidades matemáticas en lo mental o formal exclusivamente, la consecuencia se impone: la aptitud de lo matemático para describir, prever y controlar los fenómenos no puede ser sino una feliz e inexplicable coincidencia. Las frases de Einstein que todos los oscurantistas repiten: «El eterno misterio del mundo es su comprensibilidad. El hecho de que es comprensible es un milagro», «los conceptos físicos son creaciones libres del espíritu humano» resultan del error filosófico mayor consistente en cortar la mente del resto del cuerpo y del resto de la naturaleza. Quien divide el mundo en dos, lo físico y lo mental, va de asombro en asombro, como un niño citadino en la selva, y el escéptico terminará confundiéndolo haciéndole creer que es imposible salir del mundo fantástico de la caverna mental.

Los nominalistas, para quienes «existir» es un verbo unívoco, niegan la función explicativa de las entidades y procesos matemáticos: todo lo existente es individual y concreto, no hay entidades universales como las formas geométricas, y las matemáticas, por contener objetos y hechos abstractos, son ficción. No son verdaderas. Son ocasionalmente útiles, pero realmente son impotentes y dispensables. Hay quienes proponen resolver el problema, por lo menos en su parte numérica, de la manera más simple imaginable: eliminando los números (véase, por ejemplo, Science Without Numbers, de Harttry Field, 1980, y Mathematics Without Numbers, de Geoffrey Hellman, 1989).

Explicar y comprender es, fundamentalmente, un asunto de metafísica. Platón y los platónicos creen que la naturaleza es una apariencia oscura que se ilumina cuando las Ideas perfectas del mundo que para ellos es real, el mundo inteligible, se proyectan sobre el mundo sensible. La inteligibilidad no es una propiedad natural, es un regalo que le hace el mundo platónico, así como para los espiritualistas es un regalo de la mente. Y como la materia se mueve, es ella incapaz de asimilar la perfección inmóvil y eterna que le llega del otro mundo. Si a Platón y a los platónicos se les toma en serio, no queda otra opción excepto concluir que no entendieron que su mundo real perfecto es solo el resultado de las posibilidades ofrecidas por los sistemas de símbolos. El círculo es definible de tal manera perfecta que, teniendo una significación, no puede sin embargo tener una referencia, una existencia, una correspondencia exacta en el mundo sensible en movimiento, y para acogerlo debidamente se imagina, hecho a medida, otro mundo ideal y perfecto.

No existe filosofía de las matemáticas más sensata y conforme a la razón que la aristotélica. De acuerdo al Maestro de los que saben, las formas geométricas y los números entierran sus raíces en lo real natural y sensible. Un objeto puede ser elegido como unidad para contar, los animales también lo hacen. Los objetos naturales tienen formas geométricas (la redondez de la Luna, la línea del horizonte), sometidas al movimiento de la materia. En la naturaleza lo matemático existe en tanto que propiedad de los objetos, propiedad que comparte la evolución de lo sensible. Esto significa que los entes matemáticos existen en potencia en lo sensible y en acto en el intelecto. El intelecto abstrae las propiedades, es decir las separa mentalmente de la materia en movimiento, y al perfeccionarlas simbólicamente, las transforma en entes matemáticos. Se dirá que las raíces naturales no dan cuenta de las entidades más abstractas, como los números imaginarios. Sépase entonces que el matemático, en su actividad, se singulariza por no dejarse impresionar por los obstáculos, y cuando los enfrenta, continúa abstrayendo. Lo más sofisticado en matemáticas son abstracciones de abstracciones donde en cada nivel, por lo general, las operaciones directas e inversas existentes en las construcciones más elementales recomienzan.

En suma, puesto que los entes matemáticos tienen su origen en la naturaleza, en el mundo sensible, el valor cognitivo, técnico y práctico de las matemáticas no es un misterio ni una feliz coincidencia, sino una situación que se podía esperar.